Crystal Vibrations
다양한 고체 물리학 교재, 예를 들어 Kittel 4장,
Simon 9장에서는 1차원상에서 동일한 단원자들이 용수철로 연결되어 있는 단순한 모형으로부터 출발해 크리스탈 진동을 이해합니다.
모델은 다음과 같습니다.
- 1차원상에서 질량이 $m$으로 동일한 원자들이 용수철 상수가 $\kappa$인 용수철로 인접한 원자들과 연결되어 있습니다.
- 평형 상태에서 이웃한 두 원자 사이의 거리는 $a$입니다.
- 각각의 원자들의 평형 위치로부터의 변위를 $u_n$라 합니다. 각각의 원자는 정수 $n$로 인덱싱 되어 있습니다.
이제 용수철에 의해 원자 $n$에 작용하는 힘을 다음과 같이 나타낼 수 있습니다:
$$
\begin{aligned}
F_n &= \kappa (u_{n+1} - u_n) + \kappa (u_{n - 1} - u_n)\\
M\frac{d^2u_n}{dt^2}&= \kappa (u_{n + 1} + u_{n - 1} - 2u_n).
\end{aligned}
$$
모든 진동하는 원자들이 같은 진동수 $\omega$, 파수wavenumber $K$, 진폭 $A$를 가지는 파동 해를 가정하면
$$
u_n = Ae^{-i\omega t}e^{iKan}
$$
와 같이 쓸 수 있습니다. 이를 위의 운동 방정식에 다시 대입하여 $\omega^2$에 대해 정리하면 다음과 같습니다:
$$
\begin{aligned}
\omega^2 =& \frac{2\kappa}{m}(1 - \cos Ka)\\
=& \frac{4\kappa}{m}\sin^2 \frac{Ka}{2}.
\end{aligned}
$$
따라서
$$
\omega = \sqrt{\frac{2\kappa}{m}}\left| \sin \frac{Ka}{2} \right|
$$
이고, $K \to K + \frac{2\pi}{a}$에 대한 주기성을 갖습니다.
First Brillouin Zone
$K$가 물리적으로 유의미한 범위는
$$
-\frac{\pi}{a} < K \le \frac{\pi}{a}
$$
입니다. 이를 1차 브릴루앙 영역first Brillouin zone이라 합니다. 이 범위 밖의 $K' = K + 2\pi m / a$을 가정해봅시다. 즉 $K'$은 범위 내의 $K$에 대해 $2\pi / a$의 정수 $m$배 만큼 떨어져 있습니다.
$$
\begin{aligned}
u_n &= Ae^{-i\omega t}e^{iK'an}\\
&= Ae^{-i\omega t} e^{i(K + 2\pi m / a)an}\\
&= Ae^{-i\omega t} e^{iKan}e^{2\pi i m n}\\
&= Ae^{-i\omega t} e^{iKan}
\end{aligned}
$$
이므로 $K$일 때와 같은 해를 가집니다.
한편 영역의 경계에 해당하는 $K = \pm \pi / a$은 정상파를 나타냅니다:
$$
\begin{aligned}
u_n &= Ae^{-i\omega t}e^{iKan}\\
&= Ae^{-i\omega t}e^{\pm i\pi n}\\
&= Ae^{-i\omega t} (-1)^n.
\end{aligned}
$$
Interactive
아래 슬라이더 바를 조절하여 $K$의 값을 $-\frac{\pi}{a}\le K\le \frac{\pi}{a}$로 조절할 수 있습니다.
그래프의 빨간선, 파란선, 초록선은 각각 $K$, $K + \frac{2\pi}{a}$, $K - \frac{2\pi}{a}$를 나타냅니다.
그래프의 검정색 점은 각각 원자의 변위 $u_n$을 나타냅니다.
각 원자의 위치에서 $K + 2\pi m / a$가 나타내는 변위 $u_n$이 모두 동일함을 확인할 수 있습니다.
경계에서의 정상파도 확인해보세요.
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