Crystal Vibrations

다양한 고체 물리학 교재, 예를 들어 Kittel 4장, Simon 9장에서는 1차원상에서 동일한 단원자들이 용수철로 연결되어 있는 단순한 모형으로부터 출발해 크리스탈 진동을 이해합니다. 모델은 다음과 같습니다. 이제 용수철에 의해 원자 $n$에 작용하는 힘을 다음과 같이 나타낼 수 있습니다: $$ \begin{aligned} F_n &= \kappa (u_{n+1} - u_n) + \kappa (u_{n - 1} - u_n)\\ M\frac{d^2u_n}{dt^2}&= \kappa (u_{n + 1} + u_{n - 1} - 2u_n). \end{aligned} $$ 모든 진동하는 원자들이 같은 진동수 $\omega$, 파수wavenumber $K$, 진폭 $A$를 가지는 파동 해를 가정하면 $$ u_n = Ae^{-i\omega t}e^{iKan} $$ 와 같이 쓸 수 있습니다. 이를 위의 운동 방정식에 다시 대입하여 $\omega^2$에 대해 정리하면 다음과 같습니다: $$ \begin{aligned} \omega^2 =& \frac{2\kappa}{m}(1 - \cos Ka)\\ =& \frac{4\kappa}{m}\sin^2 \frac{Ka}{2}. \end{aligned} $$ 따라서 $$ \omega = \sqrt{\frac{2\kappa}{m}}\left| \sin \frac{Ka}{2} \right| $$ 이고, $K \to K + \frac{2\pi}{a}$에 대한 주기성을 갖습니다.

First Brillouin Zone

$K$가 물리적으로 유의미한 범위는 $$ -\frac{\pi}{a} < K \le \frac{\pi}{a} $$ 입니다. 이를 1차 브릴루앙 영역first Brillouin zone이라 합니다. 이 범위 밖의 $K' = K + 2\pi m / a$을 가정해봅시다. 즉 $K'$은 범위 내의 $K$에 대해 $2\pi / a$의 정수 $m$배 만큼 떨어져 있습니다. $$ \begin{aligned} u_n &= Ae^{-i\omega t}e^{iK'an}\\ &= Ae^{-i\omega t} e^{i(K + 2\pi m / a)an}\\ &= Ae^{-i\omega t} e^{iKan}e^{2\pi i m n}\\ &= Ae^{-i\omega t} e^{iKan} \end{aligned} $$ 이므로 $K$일 때와 같은 해를 가집니다.
한편 영역의 경계에 해당하는 $K = \pm \pi / a$은 정상파를 나타냅니다: $$ \begin{aligned} u_n &= Ae^{-i\omega t}e^{iKan}\\ &= Ae^{-i\omega t}e^{\pm i\pi n}\\ &= Ae^{-i\omega t} (-1)^n. \end{aligned} $$

Interactive

아래 슬라이더 바를 조절하여 $K$의 값을 $-\frac{\pi}{a}\le K\le \frac{\pi}{a}$로 조절할 수 있습니다. 그래프의 빨간선, 파란선, 초록선은 각각 $K$, $K + \frac{2\pi}{a}$, $K - \frac{2\pi}{a}$를 나타냅니다. 그래프의 검정색 점은 각각 원자의 변위 $u_n$을 나타냅니다. 각 원자의 위치에서 $K + 2\pi m / a$가 나타내는 변위 $u_n$이 모두 동일함을 확인할 수 있습니다. 경계에서의 정상파도 확인해보세요.

$K=0.5{\pi}/{a}$